数字信号处理–FIR的线性相位特性

1. 什么是线性相位？

经过具有线性相位的离散时间系统$H(e^{jw})$后的信号$y(n)$与原信号$x(n)$在时域上只存在平移的区别，而非失真。故线性相位对于语音合成、波形传输都是十分重要的。

这里我们只考虑$H(e^{jw})$对相位的影响，而不考虑幅值的影响：

$\left\{ \begin{array}{l} |H\left( e^{jw} \right) |=1\\ arg\left[ H\left( e^{jw} \right) \right] =-kw\\ \end{array} \right.$

---

证明：在频域上线性相位 $\sim$ 时域上平移

$\begin{aligned} Y(e^{jw}) =& H(e^{jw})X(e^{jw})=e^{j(-kw)}|X(e^{jw})|e^{jarg[H(e^{jw})]} \\ = &|X(e^{jw}|e^{j(arg[X(e^{jw})]-kw)} \end{aligned}$

已知频域与时域的关系为：$e^{-jw}$ $\sim$ $z^{-1}$ $\sim$ $x(n-1)$

故有：

$y(n) = x(n-k)$

2. 线性相位的特性

在实际数字系统中，不存在零相频响应的系统，因为其要求系统的单位抽样响应应满足：

$h(n) = h(-n) , n = 0,1,\dots,N-1$

这个显然是非因果系统，即物理不可实现，当然对于非实时信号处理，则可以有这一部分。

3. FIR线性相位系统的设计

FIR为全零点系统，其单位抽样响应为有限长，所以可以实现对$h(n)$的对称。

• 当$h(n)$偶堆成时，相位延迟

  $arg\left[ H(e^{jw})\right] = \varphi(w) = - \frac{N-1}{2}w$

• 当$h(n)$偶堆成时，相位延迟

  $arg\left[ H(e^{jw})\right] = \varphi(w) = - \frac{N-1}{2}w + \frac{\pi}{2}$

3.1 当h(n)为偶对称

无论N为奇数还是偶数，头尾两两总可以合成一个余弦信号$cos$

• 若$N$为奇数，中间的三个点分别为：$\frac{N-3}{2},\frac{N-1}{2},\frac{N+1}{2}$

故有：

$\begin{aligned} H(e^{jw}) = & \sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-jwn} \\ = & \sum_{n=0}^{(N-3)/2}j(n)e^{-jwn}+ h(\frac{N-1}{2})e^{-jw\cdot\frac{N-1}{2}} + \sum_{(N+1)/2}^{(N-1}j(n)e^{-jwn} \\ = & e^{-jw\cdot\frac{N-1}{2}}\left\{ h(\frac{N-1}{2}) + 2\sum_{n=1}^{(N-1)/2}h(\frac{N-1}{2}-n)cos(wn) \right\} \\ \end{aligned}$

其中$h(\frac{N-1}{2})$以及$h(\frac{N-1}{2}-n)$都是常数，统一用$a(n)$序列表述：

$H(e^{jw}) = e^{-jw\cdot\frac{N-1}{2}} \sum_{n=0}^{(N-1)/2}a(n)cos(wn)$

可以发现第二部分$\sum_{n=0}^{(N-1)/2}a(n)cos(wn)$是实数，不会影响相位，只会影响幅值。

$H(e^{jw})$具有线性相位：

$arg\left[ H(e^{jw})\right] = \varphi(w) = - \frac{N-1}{2}w$

• 若$N$为偶数，中间的两个点分别为：$\frac{N}{2}-1,\frac{N}{2}$

故有：

$\begin{aligned} H(e^{jw}) = & \sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-jwn} \\ = & \sum_{n=0}^{N/2-1}j(n)e^{-jwn}+ 0 + \sum_{N/2}^{N-1}j(n)e^{-jwn} \\ = & e^{-jw\cdot\frac{N-1}{2}}\sum_{n=0}^{N/2-1}2h(\frac{N}{2}-n)cos[ (n-\frac{1}{2})w ]\\ \end{aligned}$

其中$h(\frac{N}{2}-n)$是一个常数，这里用$b(n)$序列进行表述：

$H(e^{jw}) = e^{-jw\cdot\frac{N-1}{2}} \sum_{n=0}^{N/2}b(n)cos[(n-\frac{1}{2})w]$

同理，上述离散序列系统不会影响相位，只会影响幅值。

$H(e^{jw})$具有线性相位：

$arg\left[ H(e^{jw})\right] = \varphi(w) = - \frac{N-1}{2}w$

3.2 当h(n)为奇对称

无论$N$为奇数还是偶数，头尾两两总可以合成一个余弦信号$sin$

• 若$N$为奇数，中间的三个点分别为：$\frac{N-3}{2},\frac{N-1}{2},\frac{N+1}{2}$

故有：

$\begin{aligned} H(e^{jw}) = & \sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-jwn} \\ = & \sum_{n=0}^{(N-3)/2}j(n)e^{-jwn}+ h(\frac{N-1}{2})e^{-jw\cdot\frac{N-1}{2}} + \sum_{(N+1)/2}^{N-1}j(n)e^{-jwn} \\ \end{aligned}$

其中，$h(n)$是奇对称，即$h(\frac{N-1}{2})=0$，进一步简化为：

$H(e^{jw}) = e^{j(\frac{\pi}{2}-\frac{N-1}{2}w)}\sum_{n=1}^{(N-1)/2}c(n)sin(nw)$

$H(e^{jw})$具有线性相位：

$arg\left[ H(e^{jw})\right] = \varphi(w) = - \frac{N-1}{2}w + \frac{\pi}{2}$

• 若$N$为偶数，中间的两个点分别为：$\frac{N}{2}-1,\frac{N}{2}$

故有：

$\begin{aligned} H(e^{jw}) = & \sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-jwn} \\ = & \sum_{n=0}^{N/2-1}j(n)e^{-jwn}+ 0 + \sum_{N/2}^{N-1}j(n)e^{-jwn} \\ \end{aligned}$

其中，$h(n)$是奇对称，即$h(\frac{N-1}{2})=0$，进一步简化为：

$H(e^{jw}) = e^{j(\frac{\pi}{2}-\frac{N-1}{2}w)}\sum_{n=1}^{N/2}d(n)sin[(n-\frac{1}{2})w]$

具有线性相位：

$arg\left[ H(e^{jw})\right] = \varphi(w) = - \frac{N-1}{2}w + \frac{\pi}{2}$

根据$h(n)$的不同的类型，可以分类四种I，II，III，IV滤波器。

4.具有线性相位特征的FIR系统的零点分布

具有线性相位特征的FIR系统 $\rightarrow$ $h(n)$必须奇(偶)对称 $\rightarrow$ $H(z) = \pm z^{-(N-1)}H(z^{-1})$

综上可知：$H(z^{-1})$的零点也是$H(z)$的零点。

故【线性相位】FIR系统中零点满足：镜像对称